这些结果很快激发出了Atiyah-Singer指标定理。
阿蒂亚看到博特的同伦群周期性定理后，开始准备准备以此作为工具来研究拓扑学。
阿蒂亚深知数形结合对于数学的影响是极其深远的，而且会越来越深远。
阿蒂亚在想，普通的方程的解的个数，就是曲线与直线的焦点的个数。
而微分方程寻找解法的话，那解的样子应该是什么样子的？
刚好辛格也来凑热闹了，得知阿蒂亚的想法后，他在一杯咖啡下肚后说：“你已经知道普通曲线的解就是跟曲线交点数了。那是一种拓扑的结构，而研究微分方程的解法，很难，在图形里肯定也有一种结构，也是一种拓扑结构。”
阿蒂亚说：“没错，我们现在就需要搞清楚，微分方程的解会是什么样的拓扑图形结构。”
辛格说：“这是一个集映射、流形、纤维从、特征类、上同调、椭圆算子、博特周期、范畴和K理论于一身的东西。只要把这些东西合起来才可以。”
阿蒂亚也深知，这是一个对微分几何、拓扑学、微分方程和代数几何相互融为一体的学生，必须要有强劲的数学功力才可以。
阿蒂亚说：“事情其实不难想，我研究的事情，也就是微分方程的解或者解的数目是由其定义在该微分方程空间的几何拓扑特征全部决定的。”
辛格说：“没错，简单说微分方程解的数目是一个拓扑不变量。但是这必须是行为良好的微分方程，杂乱无章的恐怕不可以了。”
阿蒂亚说：“没错，我们先不能研究病态的那些微分方程，只需要把正常的弄好就可以了。”
阿蒂亚和辛格开始从简单的微分方程起，研究对应在空间中的拓扑结构，然后由简单到难处，慢慢的对很多微分方程的解，都用了拓扑学来解释。
阿蒂亚和辛格的工作，被后来的数学家广泛使用了。