德国数学家大卫·希尔伯特（david hilbert， 1862-1943）扩展了弗雷格和罗素的工作，提出了着名的希尔伯特方案，即数学的任何分支都可以被重新表述为一种形式理论，他提出以下3个问题是否存在正解：
一个形式理论，其中的公理不能产生矛盾，它的一致性能否在理论本身内得到证明？
形式理论能被证明是完备的吗，因为它包含了任何真正的数学陈述在它想要体现的特定分支中。
是否存在一个纯粹的机械过程，我称之为通用证明机制，来判定任何给定的数学命题的真假。这个问题在德语中被称为判定问题（Entscheidungsproblem）。
哥德尔对于所谓的所有东西都可以被计算这样的问题词嗤之以鼻。
对于策梅洛的ZF公理，总会有问题存在，不可能对于数学计算是完备的。
“谁也不能证明他们的功力系统，即是完备的，又是可靠的。”
哥德尔认为这可以打败任何一个自称可以自圆其说的理论系统。
“对于任意可靠的公理和推理规则系统S，必存在正确的数论结论不能在S中被证明。”哥德尔证明这个震惊世界的理论。
对于聪明的科学家和数学家，就明白自己只能无限接近真理而无法到达真理。
只有倔强的爱钻牛角尖的人才觉得自己可以统一宇宙。
首先这个定理虽然保护“不完备”三个字，但是你千万别理解说哥德尔这个人，创造出来的定理是不完备的，恰恰相反，定理本身肯定必须完备，只不过定理的内容是说“某某东西不完完备而已”。所以了解这点之后我们就要进一步讲解这个定理。
所以哥德尔不完备定理，精髓就是自然数系统内“自洽性”和“完备性”不可兼得，只能放弃一个，保全另一个，有点鱼和熊掌不可兼得的意思。
但是事情到了这里还没完，因为我们目前数学上面还有很多猜想未被证明，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等等，人类奋斗了这么多年，还是没有证明出来。在哥德尔不完备定理出现之前，人类遇到某猜想不能证明，第一反应就是：虽然现在不能证明，不代表以后不能证明，未来某时刻，肯定有某位数学家能够证明。但是当哥德尔不完备定理出现后，这个想法似乎被打破了，这似乎再暗示我们，有一些数学猜想，可能就是因为人们过渡去追求“自洽性”，把“自洽性保全了”，但是“完备性”却破坏了，所以出现了类似于“黎曼猜想”。这似乎再暗示：有一些数学猜想就是既不能被证明，又不能被证伪的，现在是这样，以后也是这样，不会有某位数学家能够改变这一点。