傅里叶很骄傲的认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数。
虽然很多人都认为有争议，但却没有有力论据。
狄利克雷对傅里叶说：“不是所有的周期信号都可以展开成傅里叶级数。”
傅里叶说：“什么样的不可以。”
狄利克雷说：“周期里带一些古怪的无穷大的，就不可以。”
傅里叶说：“如何的古怪法？”
狄利克雷说：“听说过间断点吧。”
间断点有第一类间断点和第二类间断点：
第一类间断点的左极限和右极限都是存在的，有可去间断点和跳跃间断点。
第二类间断点指函数的左右极限至少有一个不存在，有无穷间断点，振荡间断点，单侧间断点，狄利克雷函数间断点。
傅里叶从没细细考虑过这个，觉得狄利克雷转牛角尖说：“我知道，可去间断点难道不可以展开成傅里叶级数吗？跳跃间断点难道不可以展开成傅里叶级数吗？”
狄利克雷说：“无穷间断点不可以，单侧间断点不可以。”
狄利克雷话还没说完，傅里叶打断：“等等，还有狄利克雷函数间断点。你这个函数既不连续，有不可导，当然不可以了。”说完二人哈哈大笑。
狄利克雷说：“所以，想要让周期函数能展开成傅里叶级数，要么函数连续，要么只有几个第一类间断点。”
傅里叶说：“是的，我不会去处理第二类间断点这么麻烦的东西。”
狄利克雷说：“在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。”
傅里叶说：“你的意思是，如果是无限个最大值和最小值，我的就处理不过来？”
狄利克雷说：“还有一个条件是，信号是绝对可积的。”
傅里叶说：“还有不可积的周期函数？”
狄利克雷写出了不可积函数，sinx\/x求x积分，sinx^2求x积分等函数。
狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。狄利克雷条件括三方面：
（1）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）在一周期内，信号是绝对可积的。